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%=============
\begin{document}
\begin{center}
\thispagestyle{empty}
\textsc{Teoria Dei Numeri 2} \\
\textsc{AlGANT 2010---2011} \\
Fall Term\\
\vspace{1cm}

\includegraphics[width=\textwidth]{greta2.jpg}

Greta Garbo
\end{center}
\large
\chapter{Completamenti}
\section{Anelli con Valutazione (Discreta).}
Sia $A$ un dominio di integrit\`a (assumiamo che tutti gli anelli siano
commutativi e unitari, e tutti i morfismi di anelli $\phi\colon R\to S$ mandino $1_R$ in $1_S$). Sia infine $K=\Frac(A)$.
\begin{df}[Anello con Valutazione] Un anello $A$ si dice \emph{anello con valutazione}
 (o \textsc{vr}) se per ogni $x\in K^\times$, $x\notin A\imp x^{-1}\in A$.
\end{df}
\begin{lem}
Sia $A$ un dominio di integrit\`a, $K=\Frac(A)$. Se $A$ \`e un \textsc{vr} allora
\bitem
\item $A$ \`e un anello locale;
\item Se $A\subseteq A'\subseteq K$, allora anche $A'$ \`e un \textsc{vr};
\item $A$ \`e un dominio normale (ossia \`e \emph{integralmente chiuso}: se $x\in K$
 \`e integro su $A$, allora $x\in A$).
\eitem
\end{lem}
\def\m{\mathfrak m}
\begin{proof}
(i) Mostriamo che $\mathfrak m=A\setminus A^\times$ \`e un ideale massimale di $A$.
 Ovviamente $0\in\m$; se $a\in A$ e $x\in\m$, supponiamo che $ax\notin\m$. Allora $ax\in A^\times$, dunque $x^{-1}=a(a^{-1}x^{-1}\in A$, assurdo, dunque $ax\in \m$. In pi\`u, se $x,y\in\m$ sono entrambi non nulli vediamo che $x+y\in\m$ perch\'e essendo $A$ un \textsc{vr}, uno tra $x^{-1}y$ e $xy^{-1}$ stanno in $A$: se wlog $x^{-1}y\in A$ si ha $x+y=x(1+x^{-1}y)\in \m$. Da ultimo, se $\m\subset\mathfrak a$, con $\mathfrak a$ ideale di $A$, $\mathfrak a\cap A^\times\neq\varnothing$, ci\`o che implica $\mathfrak a=A$, e dunque la massimalit\`a di $\m$. L'unicit\`a segue dall'osservare che \emph{ogni} altro ideale di $A$ sta in $\m$ (dato che ogni altro ideale proprio \`e contenuto in $A\setminus A^\times=\m$).

(ii) \`E banale.

(iii) Se $x\in K$ \`e integro su $A$ esiste un polinomio 
$p(X)=X^n+a_iX^{n-1}+\dots+a_n\in A[X]$ di cui $x$ \`e zero. 
Allora, se supponiamo $x\notin A$, $x^{n}=-\sum a_i x^{n-i}\in A$ e 
allora $x=-\sum a_i X^{1-i}\in A$, assurdo.
\end{proof}
\begin{df}[Anelli a Valutazione Discreta]
Sia $K$ un campo. Una \emph{valutazione discreta} (\textsc{dv}) su $K$ \`e 
un epimorfismo di gruppi abeliani $v\colon K^\times\to\Z$ tale che se $x,y\in K^\times$ sono tali che $x+y\in K^\times$, $v(x+y)\ge \min\{v(x),v(y)\}$.
\end{df}
\begin{exer}
Sia $K$ un campo, e $v\colon K^\times\to \Z$ una \textsc{dv} su $K$. Allora 
\begin{itemize}
\item $v(1)=v(-1)=0$;
\item $v(x^{-1})=-v(x)$;
\item Se $x,y\in K^\times$ sono tali che $x+y\in K^\times$ e $v(x)<v(y)$ 
allora $v(x+y)=v(x)$.
\end{itemize}
\end{exer}
\begin{oss}
Si pu\`o dare la definizione di \emph{valutazione} su $K$ come un qualunque
epimorfismo di gruppi abeliani $K\twoheadrightarrow G$, dove $G$ \`e un gruppo 
totalmente ordinato da $\preceq$.
\end{oss}
Se su $K$ c'\`e una \textsc{dv}, definiamo
\begin{gather*}
A=\{x\in K^\times\mid v(x)\ge 0\}, \\
\m  = \{x\in K^\times\mid v(x)> 0\}\cup\{0\}.
\end{gather*}
\begin{lem}
(i) L'insieme $A$ su definito \`e un anello, ed \`e un \emph{vr}. 
L'insieme $\m$ \`e il suo (unico) ideale massimale. 

(ii) Se $\mathfrak a\le A$ \`e un ideale, allora esiste un $k\ge 0$ 
tale che $\mathfrak a=\m^k$. 

(iii) Infine $A$ \`e un \textsc{pid}, e in particolare \`e noetheriano.
\end{lem}
\begin{proof}
(i) Si mostra a mano che $A$ \`e un sottoanello di $K$, e segue immediatamente che se $x\notin A$, allora $v(x)<0$, dunque $v(x^{-1})=-v(x)>0$, dunque $x^{-1}\in A$. Si verifica a mano che l'ideale massimale di $A$ \`e $\m$. 

(ii) Se $\mathfrak a\le A$ \`e un ideale, definiamo
\[
v(\mathfrak a):=\min\{v(a)\mid a\in\mathfrak a\}.
\]
Esiste $a_0\in K^\times$ che realizza il minimo; \`e facile mostrare che $\mathfrak a=a_0A$: infatti $a_0A\subseteq\mathfrak a$, e se $y\in\mathfrak a$, $v(y)\ge k=v(a_0)$, dunque $v(y/a_0)\ge 0\imp y/a_0\in A\imp y=a_0b\in a_0A$. In particolare $v(\m)=1$, e se $\pi\in K$ realizza tale minimo $\m=\pi A$ (l'elemento $\pi$ \`e detto \emph{uniformizzatore} di $A$). Dato ora un altro ideale $\mathfrak a\le A$, $k=v(\mathfrak a)$. Se ora $a_0$ realizza $v(\mathfrak a)$, si ha $v(\pi^k)=k\cdot v(\pi)=k$, dunque $v(a_0/\pi^k)=0\imp a_0/\pi^k\in A^\times\imp a_0=u\pi^k$ per $u\in A^\times$. D'altra parte prima si \`e mostrato che $\mathfrak a=a_0A$; allora $a_0\in A^\times \pi^k$ implica che $\mathfrak a=\pi^kA=\m^k$.

(iii) Si \`e appena mostrato che ogni ideale \`e principale generato dall'elemento che realizza $v(\mathfrak a)$. Ogni \textsc{pid} \`e noetheriano.
\end{proof}
\begin{df}[Anello a Valutazione Discreta]
Sia $A$ un dominio di integrit\`a. Diciamo che $A$ \`e un \emph{anello a valutazione discreta} (\textsc{dvr}) se esiste una valutazione discreta $v\colon \Frac(A)^\times \to \Z$ tale che $A=\{x\in K^\times\mid v(x)\ge 0\}$.
\end{df}
Supponiamo che $(A,\m)$ sia un dominio noetheriano locale. Allora
\begin{thm}
Le seguenti condizioni sono equivalenti:
\benum
\item $A$ \`e un \textsc{dvr};
\item $A$ \`e un dominio normale;
\item $\m$ \`e un ideale principale;
\item $\dim_\kappa(\m/\m^2)=1$, dove $\kappa=A/\m$ si dice \emph{campo residuo} di $A$;
\item $(0)\neq \mathfrak a\le A\imp \mathfrak a=\m^n$, $\exists n\ge 0$;
\item Esiste $x\in A$ tale che ogni ideale non nullo \`e generato da una opportuna potenza di $x$.
\eenum
\end{thm}
Prima della dimostrazione:
\begin{exer}
Supponiamo che $(A,\m)$ sia un dominio noetheriano locale, i cui unici ideali primi sono $(0)$ e $\m$. Allora ogni ideale non nullo \`e una opportuna potenza di $\m$, e la catena $A\ge \m\ge \m^2\ge\dots\ge m^k\ge\dots$ \`e strettamente decrescente.
\end{exer}
\begin{lem}[Nakayama]
Se $A$ \`e un anello e $\mathfrak a$ un ideale contenuto nel radicale di Jacobson di $A$, allora per ogni modulo $M$ finitamente generato, $\mathfrak aM=M\imp M=(0)$.
\end{lem}
\begin{cor}
Se $(A,\m$ \`e un anello locale e $\kappa=A/\m$ il suo campo residuo, $M$ un $A$-modulo finitamente generato, allora ogni base $\{x_1,\dots, x_n\}$ tale che $\{\bar x_1,\dots, \bar x_n\}$ (=le immagini nel quoziente) \`e una base di $(M/\m M)_\kappa$ genera $M$ su $A$.
\end{cor}
\begin{proof}
(i $\imp$ ii) \`E stato fatto prima.

(ii $\imp$ iii) Supponiamo $m\neq(0)$, e scegliamo $a\in \m\setminus 0$. Allora
$aA\supseteq \m^n$\err{\dots finire!}

(iii $\imp$ iv) Se $\m=xA$, allora $d=\dim_\kappa(\m/\m^2)\le 1$, e se $d=0$ allora $\m=\m^2$, \textsc{qea}. Dunque $\dim_\kappa(\m/\m^2)=1$.

(iv $\imp$ v) Sia $\mathfrak a$ un ideale non nullo di $A$. Se $\dim_\kappa(\m/\m^2)=1$, allora ogni $x\in\m$ \`e una base per $(\m/\m^2)_\kappa$, e dunque $xA=\m$, grazie al Corollario al Lemma di Nakayama. Allora se $\mathfrak a=A$, $\mathfrak a=\m^0$ (per definizione). Se invece $\mathfrak a$ \`e un ideale proprio, $\mathfrak a\subseteq\m$. Scegliamo $k\in\N$ tale che $\mathfrak a\subseteq\m^k$, $\mathfrak a\not\subseteq\m^{k+1}$ (\err{come faccio a sapere che esiste?}); allora esiste $n\ge 0$ tale che $\m^n\subseteq \mathfrak a$.

\err{Finire!}
\end{proof}
\section{Topologie e Completamenti.}
\begin{df}
Un \emph{gruppo abeliano topologico} \`e un gruppo abeliano, con una topologia che rende continue le operazioni di addizione e inversione. Si indica con $(A,+,\tau)$.
\end{df}
\begin{df}
Un anello topologico \`e un anello $A$, con una topologia che rende continue le operazioni di gruppo abeliano di $(A,+)$ e di monoide di $(A,\cdot)$. Si indica con $(A,+,\cdot,\tau)$.
\end{df}
\begin{oss}
Se $(A,+,\tau)$ \`e un gruppo abeliano topologico e $\{0\}$ \`e un chiuso in $\tau$, allora $(A,\tau)$ \`e uno spazio di Hausdorff. In effetti si ha che la sequenza $(\iota,\Delta)\colon A\to A\times A\to A\colon$, dove $\Delta\colon x\mapsto (x,x)$ e $\iota\colon (x,y)\mapsto x-y$, \`e esatta e fatta di morfismi di gruppo continui. Allora $\im\Delta=\ker\iota=\iota^\leftarrow(\{0\})$ \`e chiuso, e lo spazio \`e di Hausdorff per una nota caratterizzazione degli spazi \textsc{T2}.
\end{oss}
\begin{oss}
Sia $A$ un gruppo abeliano topologico. Allora la topologia $\tau$ \`e univocamente determinata dal dato di una base di intorni dell'elemento neutro: le traslazioni $t_x\colon y\mapsto x+y$ indotte dall'azione regolare di $A$ su s\`e stesso sono tutte omeomorfismi, dunque mappe aperte, e un intorno di $x\in A$ \`e l'immagine via $t_x$ di un intorno di zero:
\[
t_x(U)=U+x\text{ \`e aperto e contiene $x$, dunque } U+x \in \mathrm{Nbd}(x).
\]
\end{oss}
\begin{exer}
Sia $A$ un anello e $\mathfrak i$ un suo ideale. Definiamo $\mathrm{Nbd}(0)=\{\mathfrak i^n\}_{n\ge 0}$: allora $\mathrm{Nbd}(x)=\{x+\mathfrak i^n\}_{n\ge 0}$. La topologia cos\`i ottenuta rende $A$ un anello topologico, e si chiama topologia $\mathfrak i$-\emph{adica}.
\end{exer}
\begin{exer}
Sia $A$ un gruppo abeliano topologico, e $H=\bigcap_{U\in\mathrm{Nbd}(0)} U$. Si mostri che
\bitem
\item $H\le A$;
\item $H=\overline{\{0\}}$, e dunque $H$ \`e un sottogruppo chiuso;
\item $A/H$ \`e uno spazio di Hausdorff se dotato della topologia quoziente;
\item $A$ \`e di Hausdorff se e solo se $H=\{0\}$, se e solo se $\{0\}$ \`e chiuso.
\eitem
\end{exer}
Supponiamo da ora in poi che ogni gruppo topologico sia 2-numerabile, e iniziamo a studiare la teoria dei completamenti.
\section{Completamenti.}
Sia $A$ un gruppo abeliano topologico a base numerabile, e sia $(x_n)_{n\ge 0}$ una successione in $A$.
\begin{df}[Successione di Cauchy]
Diciamo che $(x_n)_{n\ge 0}$ \`e una \emph{successione di Cauchy} se per ogni $U\in\mathrm{Nbd}(0)$ esiste $n_U\in\N$ tale che per ogni $n,m\ge n_U$ $x_n-x_m\in U$.
\end{df}
\begin{df}[Successione Convergente]
Diciamo che una successione $(x_n)_{n\ge 0}$ \`e \emph{convergente} se esiste $x\in A$ tale che per ogni $U\in\mathrm{Nbd}(0)$ esiste $n_U\in\N$ tale che per ogni $n\ge n_U$ $x_n-x\in U$.
\end{df}
In quest'ultimo caso scriviamo che $\lim_{n\to\infty} x_n=x$.
\begin{df}
Sia $A$ un gruppo abeliano topologico. Definiamo nell'insieme di tutte le successioni a valori in $A$, $A^\N$, la relazione
\[
(x_n)_{n\ge 0}\sim (y_n)_{n\ge 0}\iff \lim(x_n-y_n)=0
\]
\end{df}
Definiamo poi l'insieme $\Cauchy(A)\subset A^\N$ come l'insieme delle successioni di Cauchy in $A$. Allora
\bitem
\item $\sim$ \`e una relazione di equivalenza in $\Cauchy(A)$;
\item $\Cauchy(A)$ \`e in modo naturale un gruppo abeliano, ponendo $(x_n)_{n\ge 0}+(y_n)_{n\ge 0}=(X_n+y_n)_{n\ge 0}$. L'elemento neutro \`e la successione costantemente zero, e l'inverso di $(x_n)_{n\ge 0}$ \`e la successione $(-x_n)_{n\ge 0}$.
\item La relazione $\sim$ \`e una congruenza in $(\Cauchy(A),+)$.
\eitem
Alla luce di questo, $\widehat A=\Cauchy(A)/\sim$ ha una naturale struttura di gruppo abeliano. Di pi\`u, esiste un morfismo di gruppi $\phi\colon A\to \widehat A\colon a\mapsto (a)_{n\ge 0}$.

In generale $\phi$ non \`e iniettivo: in effetti $\ker\phi=\bigcap_{U\in\mathrm{Nbd}(0)} U$, e $\phi$ \`e iniettiva se e solo se $\bigcap_{U\in\mathrm{Nbd}(0)} U=(0)$, se e solo se $A$ \`e uno spazio di Hausdorff.

L'insieme $\widehat A$ \`e detto \emph{completamento} di $A$: vorremmo dotare il completamento di $A$ di una topologia che rende $\phi$ continua e che rende tutte le successioni di Cauchy in $A$ delle successioni convergenti nel completamento.
La topologia prodotto di $A^\N$ induce su $\Cauchy(A)$ la topologia di sottospazio. 

Se definiamo il sottogruppo $\Zero(A)$ come
\[
\Zero(A) = \{(x_n)_{n\ge 0}\in A^\N\mid\lim x_n=0\},
\]
troviamo che $\Zero(A)$ \`e un sottogruppo chiuso di $\Cauchy(A)$, e in pi\`u $(x_n)_{n\ge 0}\sim(y_n)_{n\ge 0}\imp (x_n)_{n\ge 0}-(y_n)_{n\ge 0}\in\Zero(A)$.
\section{Sistemi e Limiti Proiettivi.}
Sia $\{M_n\}_{n\ge 0}$ una famiglia di gruppi abeliani (o anelli, moduli,\dots) indicizzata dai naturali, e tale che esistano mappe
\[
M_0 \xleftarrow{f_0} M_1 \xleftarrow{f_1} M_2 \xleftarrow{f_2}\dots
\]
Un tale oggetto si dice \emph{sistema proiettivo}.

La collezione di tutti i sistemi proiettivi forma la classe degli oggetti di una categoria, i cui morfismi sono famiglie $\{F_n\}_{n\ge 0}$ tali da far commutare il quadrato
\[
\xymatrix{
M_n\ar[d]_{F_n} & M_{n+1} \ar[l]_{f_n}\ar[d]^{F_{n+1}}\\
N_n & N_{n+1}. \ar[l]^{g_n}
}
\]
La categoria dei sistemi proiettivi di gruppi abeliani \`e abeliana: una sequenza di sistemi proiettivi si dice \emph{esatta} se lo \`e in ogni grado.

\`E possibile definire un funtore \emph{limite proiettivo}
$\varprojlim\colon\mathsf{Proj}(\mathsf{Ab})\to\mathsf{Ab}$ che manda
$\{M_n,f_n\}$ in
\[
\varprojlim\{M_n,f_n\} := \{(m_n)_{n\ge 0}\mid f_n(m_{n+1})=m_n\}
\]
(sottoinsieme delle \emph{sequenze coerenti} nel prodotto $\prod_{n\ge 0} M_n$). La funtorialit\`a di $\varprojlim$ implica che per ogni morfismo di sistemi diretti esista un morfismo indotto tra i rispettivi limiti proiettivi.

Sia ora $A$ un gruppo abeliano topologico in cui la topologia \`e determinata da una catena di sottogruppi $A=A_0\ge A_1\ge\dots\ge A_n\ge\dots$. La sequenza
\[
\xymatrix{
0=A/A_0 & \ar[l] A/A_1 & \ar[l]_{\phi_1} A/A_2 & \ar[l]_{\phi_2}\dots & \ar[l]_{\phi_{n-1}} A/A_n & \ar[l]_{\phi_n}\dots
}
\]
\`e un sistema proiettivo di gruppi abeliani, e $\phi_n\colon A/A_{n+1}\to A/A_n$ \`e definita da $x+A_{n+1}\mapsto x+A_n$.
\begin{thm}
Esiste un isomorfismo canonico di gruppi abeliani $\Phi\colon \widehat A \to \varprojlim_n A/A_n$ che rende commutativo il diagramma
\[
\xymatrix{
\widehat A \ar[r]^\Phi & **[r] \varprojlim_n A/A_n \\
A \ar[u]^\alpha \ar@{=}[r] & A \ar[u]_\beta
}
\]
\end{thm}
Resta indotta per trasporto di struttura una topologia sul limite $\varprojlim_n A/A_n$, che rende $\Phi$ un omeomorfismo.

Il morfismo $\alpha$ \`e definito come $A\to\widehat A\colon a\mapsto (a)_{n\ge 0}$.

Il morfismo $\beta$ \`e definito a partire dal sistema proiettivo costante in $A$, $A\leftarrow A\leftarrow A\leftarrow \dots$ in cui le $\phi_n$ sono tutte identit\`a: \`e infatti chiaro che esiste un morfismo di sistemi diretti
\[
\xymatrix{
A \ar@{-}[r]\ar[d]_{p_0}& A \ar@{-}[r]\ar[d]_{p_1}& A \ar@{-}[r]\ar[d]_{p_2}&\dots \\
A/A_0 \ar@{<-}[r]& A/A_1 \ar@{<-}[r]& A/A_2 \ar@{<-}[r]&\dots 
}
\]
che quindi induce un morfismo tra i rispettivi limiti proiettivi $\beta\colon A\cong \varprojlim_n(A,\id_A)\to \varprojlim_n (A/A_n,\phi_n)$.
\begin{proof}
Per definire $\Phi\colon A\to \varprojlim_n A/A_n$, sia $x=(x_n)_{n\ge 0}\in\widehat A$. 

Mostriamo che per ogni $m\in\N$ fissato la successione $(p_m(x_n))_{n\ge 0}$
(ove $p_m\colon A\to A/A_m$)  \`e definitivamente costante. In effetti
$A_m\in\mathrm{Nbd}(0),(x_n)_{n\ge 0}\in\Cauchy(A)\imp x_r-x_q\in A_m$ per ogni $r,q\in \N$ maggiori di un certo $N_m\in\N$. Allora $p_m(x_r-x_q)=0=p_m(x_r)-p_m(x_q)$, dunque $p_m(x_n)\equiv x$ per ogni $n\ge N_m$.

Sia $x^{(m)}$ la costante cui \`e uguale $p_m(x_n)$. Costruiamo con questi valori una successione $(x^{(m)})_{m\ge 0}$. Ora si noti che, dato che $x^{(m)}=p_m(x_n),x^{(m+1)}=p_{m+1}(x_n)$ per $n\ge \max(N_m,N_{m+1})$, si ha l'uguaglianza
\[
\phi_m(x^{(m+1)})=\phi_m(p_{m+1}(x_n))=p_m(x_n)=x^{(m)}.
\]
Si \`e dunque provato che $(x^{(m)})_{m\ge 0}\in\varprojlim_n A/A_n$, perch\'e
$(x^{(m)})_{m\ge 0}$ \`e una sequenza coerente.

Supponiamo che $\lim_n x_n=0$: allora dato $m\in\N$, $x_n\in A_m$ definitivamente; col che $x^{(m)}=p_m(x_n)=0$, e dunque $(x^{(m)})=(0)$ (la successione nulla).

Se $(x_n)_{n\ge 0}\sim(y_n)_{n\ge 0}$, allora, $(x_n)-(y_n)\in\Zero(A)$, quindi $x^{(m)}-y^{(m)}=0$ per ogni $m\ge 0$, e dunque $x^{(m)}\sim y^{(m)}$ nel limite proiettivo.

\`E quindi ben definita $\Phi\colon A\to \varprojlim_n A/A_n\colon (x_n)+\Zero(A)\mapsto (x^{(m)})\in\varprojlim_k A/A_k$.

Resta da mostrare che $\Phi$ \`e effettivamente un morfismo di gruppi: se per\'o
sono date due successioni $(A_n)_{n\ge 0}$ e $(b_n)_{n\ge 0}$, la loro somma \`e
definita componente per componente, e per ogni $m\ge 0$ si ha
$p_m(A_n+b_n)=p_m(a_n)+p_m(b_n)$. Se scegliamo $n\ge\max\{n_1,n_a, n_b\}$, dove
$n_1$ ($n_a$, $n_b$) \`e tale che $p_m(a_n+b_n)$ ($p_m(a_n)$, $p_m(b_n)$) \`e
definitivamente costante, allora si ha l'uguaglianza
$(a+b)^{(m)}=a^{(m)}+b^{(m)}$, per ogni $m\ge 0$.

L'inversa di $\Phi$ \`e chiamata 
$
\Psi\colon \varprojlim_n A/A_n \to \widehat{A}
$
ed \`e definita come segue. Data una sequenza coerente nel limite, $x=(\bar
a_n)_{n\ge 0}$ ($\bar a_n\in A/A_n$) scegliamo per ogni $n\ge 0$ un $a_n\in
p^\leftarrow(\bar a_n)\subseteq A$; si tratta di mostrare che la successione cos\`i determinata \`e (ben definita e)
di Cauchy in $A$: per ogni $m\ge 0$ deve essere $a_n-a_k\in A_m$ per ogni
$n,k\ge N_m$.
Si noti che se $m\ge 0$ e $n,k\ge m$, $\phi_m(\phi_{m+1}(\cdots\phi_{n-1}(\bar
a_n)\cdots))=\bar a_m$. Allora \err{$a_n-a_m,a_k-a_m\in A_m$} implica che
$a_n-a_k=(a_n-a_m)+(a_k-a_m)\in A_m$, e $(a_n)_{n\ge 0}$ \`e di Cauchy.
Se poi $(a_n)_{n\ge 0},(b_n)_{n\ge 0}$ sono entrambe tali che $p_n((-)_n)=\bar
a_n$; vediamo che $(a_n)\sim (b_n)$ in $\widehat A$. 
Se $p_n(a_n-b_n)=0$, allora $a_n-b_n\in A_n$ per ogni $n\ge 0$. Allora se $m\ge
0$, $a_n-b_n\in A_n\subset A_m$, $\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=0\imp (a_n)\sim
(b_n)$ in $\widehat A$.

\`E allora definita una funzione $\Psi\colon (\bar a_n)_{n\ge 0}\mapsto
(a_n)+\Zero(A)$ per qualche successione $(a_n)_{n\ge 0}$ tale che $a_n\in
p^\leftarrow(\bar a_n)\subseteq A$ per ogni $n\ge 0$. \`E semplice terminare
mostrando che $\Psi$ \`e pure un morfismo di gruppi e che le composizioni
$\Phi\circ\Psi$, $\Psi\circ\Phi$ coincidono con le identit\`a dei rispettivi
domin\^i.
\end{proof}
Vorremmo applicare questo macchinario allo studio del \emph{completamento} di un
\textsc{dvr} $A$ con valutazione $v\colon K^\times \to \Z$, ove $K=\Frac(A)$ e
$A=\{x\in  K^\times\mid v(x)\ge 0\}\cup\{0\}$.
\begin{df}
Sia $0<\alpha<1$ un numero reale fissato. Definiamo $|-|\colon K^\times\to
\R\colon x\mapsto \alpha^{v(x)}$, ed estendiamola ad una mappa $K\to \R$
chiamata ancora $|-|$ che coincide con la precedente su $K^\times$ e vale $0$ in
zero. La mappa $|-|$ cos\`i determinata soddisfa alle propriet\`a
\benum
\item $|x|=0\iff x=0_K$;
\item $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$;
\item $|x+y|\le\max\{|x|,|y|\}\le |x|+|y|$.
\eenum 
\end{df}
Questa posizione rende $K$ uno spazio ultrametrico e permette di definire una
\emph{topologia} su $K$ (e $A$ come sottospazio) che chiama aperti tutti gli 
insiemi $U\subseteq K$ tali che per ogni $x\in U$ esiste una palla $B(x,r)$
tutta contenuta in $U$: la palla \`e definita da $B(x,r)=\{y\in K\mid
|x-y|<r\}$.

Sar\`a di grande interesse in seguito studiare le caratteristiche degli spazi
topologici $\widehat K$, $\widehat A$: ma questo non pu\`o essere fatto senza
abbandonare una buona parte dell'intuizione geometrica classica; la
disuguaglianza (3) dell'Osservazone precedente infatti riesce a generare
avvenimenti bizzarri (ogni triangolo ultrametrico e' isoscele, ogni punto della
palla aperta $B(x,r)$ ne \`e il centro\dots\footnote{Questo significa che se
$B(x,r)=\{y\in K\mid |x-y|<r\}$, allora per ogni $y\in B(x,r)$,
$B(x,r)=\{z\in K\mid |y-z|<r\}$\dots}).
\begin{prop}
Sia $A$ un \textsc{dvr}, $\m$ il suo unico ideale massimale.
\bitem 
\item $\{\m^k\}_{k\ge 0}$ \`e una base di intorni di $0$ per la topologia
prima determinata: la chiamiamo \emph{topologia $\m$-adica};
\item $\widehat A$ \`e un anello integro, locale, e in effetti \`e un
\textsc{dvr};
\item La mappa canonica $A\mapsto \widehat{A}$ che manda $a\in A$ nella
successione costante in $a$ (sono tutte di Cauchy, ovviamente) \`e iniettiva, e
$A$ \`e un sottoinsieme denso di $\widehat{A}$.
\eitem
\end{prop}
\begin{proof}
Esercizio.
\end{proof}
Sia $A$ un \textsc{dvr}, $K=\Frac(A)$, $v\colon K^\times \Z$ una valutazione
discreta. Valgono le propriet\`a seguenti.
\bitem 
\item Se $\m$ \`e l'ideale massimale di $A$, per ogni $i\ge 0$ l'ideale $\m^i$
\`e clopen nella topologia che ha come base di intorni di zero l'insieme
$\{\m^n\}_{n\ge 0}$;
\begin{proof}
Se $x\in \m^i$, allora $x+\m^i\in\mathrm{Nbd}(x)$, e ovviamente ($\m^1$ \`e un
ideale) $x+\m^i\subseteq\m^i$, dunque $\m^i$ \`e aperto.

Un identico ragionamento mostra che $A\setminus\m^i$ \`e aperto.
\end{proof}
\item $\bigcap_{n\ge 0}\m^n=(0)$, e dunque la topologia $\m$-adica \`e di
Hausdorff ($\{0\}$ \`e chiuso perch\'e intersezione di chiusi: allora $\{x\}$
\`e chiuso, per ogni $x\in A$);
\begin{proof}
$x\neq 0\iff v(x)=n$, per qualche $n\in\Z$. Allora $x\in \m^n\setminus
\m^{n+1}$, dunque $x\notin \bigcap_{n\ge 0}\m^n$.
\end{proof}
\item La successione $(a_n)_{n\ge 0}$ \`e di Cauchy in $A$ se e solo se
$v(a_{n+1}-a_n)\xrightarrow{n\to\infty}\infty$.
\begin{proof}
Una implicazione \`e ovvia. 

Se $v(a_{n+1}-a_n)\xrightarrow{n\to\infty}\infty$, allora per ogni $M>0$ esiste
$N(M)$ tale che per ogni $n\ge N(M)$ $v(a_{n+1}-a_n)\ge M$. Siano ora
$n,m\colon m\ge n\ge N(M)$. $v(a_m-a_n)=v(a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\dots +
a_{n+1}-a_n)\ge \min\{v(a_k-a_{k-1})\}\ge M\cdot(m-n)$, dunque $(a_n)_{n\ge
0}\in\Cauchy(A)$.
\end{proof}
\eitem
Sia ora $\widehat A$ (risp. $\widehat K$) il completamento di $A$ (risp. $K$).
Al morfismo canonico di inclusione $A\hookrightarrow \Frac(A)=K$ corrisponde un morfismo
di anelli (\err{topologici?}) tra i completamenti,
$\widehat\imath\colon\widehat{A}\to \widehat{K}$.
\begin{prop}
Valgono le propriet\`a seguenti:
\bitem 
\item $\widehat\imath$ \`e iniettivo;
\item $\widehat K$ \`e un campo;
\item $\widehat A$ \`e un \textsc{dvr} e $\widehat K\cong \Frac(\widehat A)$.
\eitem 
\end{prop}
\begin{proof}
\bitem
\item Sia $(a_n)_{n\ge 0}\in\Zero(A)$.
$v(a_n)\xrightarrow{n\to\infty}\infty\imp$ $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, cio\`e
$\ker\phi=0$.
\item Se $(a_n)_{n\ge 0}\in\Cauchy(A)\setminus\Zero(A)$, allora
\[ 
\begin{cases}
v(a_{n+1}-a_n)\to \infty \\
v(a_n) \text{ \`e limitata.}
\end{cases}
\]
Si consideri allora la successione $(b_n)_{n\ge 0}$ definita da
$$b_n=\begin{cases} 1/a_n & a_n\neq 0 \\ 0 & a_n=0.\end{cases}$$ Se
$(a_n)\not\to 0$, $b_n=0$ per solo un numero finito di indici; vediamo che
$(b_n)_{n\ge 0}\in\Cauchy(A)$. In effetti
$v(b_{n+1}-b_n)=v(a_{n+1}-a_n)-v(a_n)-v(a_{n+1})$, dunque
\[  
v(b_{n+1}-b_n)+v(a_n)+v(a_{n+1})=v(a_{n+1}-a_n)
\]
ed essendo $(v(a_n))_{n\ge 0}$ limitata, l'unico modo in cui pu\`o essere che
$v(b_{n+1}-b_n)+v(a_n)+v(a_{n+1})\xrightarrow{n\to\infty}\infty$ \`e che
$v(b_{n+1}-b_n)\xrightarrow{n\to\infty}\infty$, cio\`e che $(b_n)_{n\ge 0}$ sia
di Cauchy.
\item Mostreremo varie cose: prima di tutto
\begin{lem}
Sia $(a_n)_{n\ge 0}\in\Cauchy(A)$. Se $(a_n)\not\to 0$ allora la successione
$(v(a_n))_{n\ge 0}$ \`e definitivamente costante. 
\end{lem}
Chiamiamo $\lim_{n\to\infty}
v(a_n)$ tale costante.
Se $(a_n)_{n\ge 0}\not\to 0$ esiste $N\in\N\colon v(a_n)<N$, definitivamente.
Ora, se $(a_n)_{n\ge 0}\in\Cauchy(A)$ esiste anche $M\in\N\colon m,n\ge M\imp
v(a_n-a_m)>N+1$.

Ma allora se $n,m\ge M$ si ha
\[
v(a_n)=v(a_n-a_m+a_m)=\min\{v(a_n-a_m),v(a_m)\}=v(a_m).
\]
Dato $x\in\widehat{K}^\times$, $x=\text{cls}(a_n)$, \`e quindi ben posta la
definizione di $\widehat v\colon \widehat{K}^\times\to\Z$
\[
\widehat v(x) := \lim_{n\to\infty} v(a_n')
\]
per qualche $(a_n')_{n\ge 0}\in\text{cls}(a_n)$. Si possono verificare le dovute
propriet\`a per concludere che $\widehat v$ \`e una valutazione su
$\widehat{K}^\times$.
\err{Mostriamo ora che $\widehat A=\{0\}\cup\{x\in \widehat{K}^\times\mid
\widehat v(x)\ge 0\}$}. Dunque si conclude. \qedhere
\eitem
\end{proof}
\begin{cor}
Se $A$ \`e un \textsc{dvr}, il completamento $\widehat A$ \`e anch'esso un
\textsc{dvr}, in particolare \`e un \textsc{pid} (quindi noetheriano e
integralmente chiuso) e un anello locale.
\end{cor}
\section{Funtorialit\`a ed esattezza di $\widehat{(-)}$.}
Lo scopo di questa sezione \`e dare un senso preciso alla frase ``l'operazione
di \emph{completamento} di $A$ \`e un funtore esatto.'' 
\begin{oss}
Se $A\cong\varprojlim_n(A/\m^n,\phi_n)$\footnote{Ci sentiremo per\`o liberi di
compiere un abuso di notazione dimenticando $\phi_n$ e di indicare il limite con
la sola famiglia degli $A/\m^n$, o degli oggetti componenti il sistema proiettivo nel caso pi\`u
generale; ci\`o non causer\`a alcun danno al nostro spirito non pi\`u fragile.},
esiste un morfismo canonico $\alpha\colon \widehat A\to A/\m=:\kappa(\m)$
(\emph{campo residuo} di $A$), che manda la sequenza coerente $(a_n)$ in
$a_1\in\kappa$; tale morfismo \`e suriettivo e ha per nucleo esattamente
$\m\widehat A=:\widehat{\m}$.\end{oss}
Se $A$ \`e un gruppo abeliano topologico \`e in generale possibile pensare a
operazioni di \emph{pull-back} e \emph{push-out} della topologia di $A$ su $B$
(se esiste $\phi\colon B\to A$) o su $C$ (se esiste $\psi\colon A\to C$).
Supponiamo che la topologia $\tau_A$ su $A$ sia determinata da un opportuna
catena discendente di intorni di zero $\{A_n\}$ che fa da base a $\tau_A$. Le
topologie $\tau_B,\tau_C$ ``indotte'' da $\tau_A$ via $\phi$ sono allora quelle
che hanno, rispettivamente, per base di intorni di zero le catene
\begin{gather*}
B=\phi^\leftarrow(A_0)\supseteq
\phi^\leftarrow(A_1)\supseteq\cdots\supseteq\phi^\leftarrow(A_n)\supseteq\cdots\\
C=\psi(A_0)\supseteq
\psi(A_1)\supseteq\cdots\supseteq\psi(A_n)\supseteq\cdots
\end{gather*} 
Si osservi ora che se $n_0\in\N$ \`e fissato, la proiezione $\colon A\to
A/A_{n_0}$ determina su $A/A_{n_0}$ una topologia che ha per base di intorni di
zero una catena finita di insiemi, terminante con zero stesso:
\[
A/A_{n_0}\supseteq p(A_0)\supseteq p(A_1)\supseteq \cdots\supseteq
p(A_{n_0})=(0).
\]
Questo implica che $\tau_{A/A_{n_0}}$ \`e la topologia discreta e $\Cauchy(A/A_{n_0})$
\`e l'insieme delle successioni definitivamente costanti: allora
$\Cauchy(A/A_{n_0})\cong A/A_{n_0}\imp \widehat{(A/A_{n_0})}\cong A/A_{n_0}$. Il
diagramma
\[
\xymatrix{
A \ar@{>->}[d]\ar[r]& \ar@{-}[d]A/A_{n_0} \\
**[l]\varprojlim_n A/A_n\cong \widehat{A} \ar[r] & \widehat{A/A_{n_0}}
}
\]
\`e commutativo, e allora modulo l'identificazione $\widehat{(A/A_{n_0})}\cong
A/A_{n_0}$ la mappa $\widehat A\to \widehat{(A/A_{n_0})}$ si identifica alla
proiezione dal limite proiettivo.

Supponiamo ora di avere una sequenza esatta corta di gruppi abeliani $(\phi,\psi)\colon 0\to B\to A\to C\to 0$. Supponiamo anche che la topologia $\tau_A$ su $A$ sia determinata da un opportuna
catena discendente di intorni di zero $\{A_n\}$ che fa da base a $\tau_A$.

Se diamo a $B$ e $C$ le topologie indotte da $\phi$ e $\psi$ (=in generale questo non accade), allora anche la sequenza $0\to \widehat{B}\to\widehat{A}\to\widehat{C}\to 0$ \`e esatta corta. 

Una applicazione di ci\`o \`e subito trovata: dando ad $A_{n_0}$, $A/A_{n_0}$ le topologie indotte da immersione e proiezione la sequenza $0\to \widehat{A}_{n_0}\to \widehat A\to \widehat{A/A_{n_0}}\to 0$ \`e esatta corta; ma $\widehat{A/A_{n_0}}\cong A/A_{n_0}$: allora 
\bitem
\item $\widehat{A}_{n_0}\cong\ker(\widehat A\to A/A_{n_0})$;
\item $\widehat{A}/\widehat{A}_{n_0}\cong \widehat{A/A_{n_0}}\cong A/A_{n_0}$.
\eitem
In particolare il secondo punto implica che $\widehat A$ \`e uno spazio \emph{completo}, ossia $\widehat{\widehat{A}}\cong\widehat{A}$: formalmente quello che accade \`e che se $\widehat{A}/\widehat{A}_{n_0} \cong A/A_{n_0}$, allora
\[\textstyle 
 \widehat{\widehat{A}}\cong \varprojlim_n\Big(\widehat{A}/\widehat{A}_{n_0}\Big)\cong\varprojlim_n\Big( A/A_{n_0}\Big)\cong \widehat A
\]
\begin{proof}
 Proviamo che $\widehat{(-)}$ \`e effettivamente un funtore esatto.
 
 Nella sequenza esatta corta $(\phi,\psi)\colon 0\to B\to A\to C\to 0$ supponiamo che la topologia $\tau_A$ su $A$ sia determinata da un opportuna catena discendente di intorni di zero $\{A_n\}$ che fa da base a $\tau_A$ e diamo a $B,C$ le topologie da essa indotte. Se $B_n=\phi^\leftarrow(A_n)$ e $C_n=\psi(A_n)$ abbiamo
 \[
  \begin{array}{lcr}
   \widehat A\cong \varprojlim_n A/A_n &
   \widehat B\cong \varprojlim_n B/B_n &
   \widehat C\cong \varprojlim_n C/C_n
  \end{array}
 \]
cosicch\'e la sequenza $B/B_n\hookrightarrow A/A_n\twoheadrightarrow C/C_n$ \`e esatta per ogni $n\ge 0$. Ci\`o significa che $A_n,B_n,C_n$ definiscono una sequenza esatta corta di \emph{sistemi proiettivi}, che per noti teoremi di algebra omologica indurr\`a una qualche sequenza esatta lunga; il piano della dimostrazione \`e di provare che per la sequenza esatta di complessi cos\`i determinata vale la condizione di Mittag-Leffler che rende $\varprojlim$ un funtore esatto.
\end{proof}
 
\end{document}